Forme trigonométrique et égalité de nombres complexes

Proposition  

Soit z et z' dans ${\mathbb{C}}^{\ast }$ .

On note $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ et $z^{\prime }=r^{\prime }(\cos {\theta }^{\prime }+i\sin {\theta }^{\prime })$ leurs formes trigonométriques.

On a : $z=z^{\prime }\iff \{\begin{array}{l}r=r^{\prime }\\ \theta \equiv {\theta }^{\prime }[2\pi ]\end{array}$

Démonstration

• $(\Leftarrow )$   Si $r=r^{\prime }$ et $\theta \equiv {\theta }^{\prime }[2\pi ]$ , alors $\cos \theta =\cos {\theta }^{\prime }$ et $\sin \theta =\sin {\theta }^{\prime }$ . Ainsi, $z=z^{\prime }$ .
  
• $(\Rightarrow )$ Supposons que $z=z^{\prime }$ . On a alors $\left|z\right|=\left|z^{\prime }\right|$ , c'est-à- dire $r=r^{\prime }$ .
  

Comme $z=z^{\prime }$ , on a alors : $\cos \theta +i\sin \theta =\cos {\theta }^{\prime }+i\sin {\theta }^{\prime }$ .

Par unicité de la forme algébrique, on en déduit que :
$\begin{array}{r}\cos (\theta )=\cos ({\theta }^{\prime })\text{et}\sin (\theta )=\sin ({\theta }^{\prime })\end{array}$  donc $\theta \equiv {\theta }^{\prime }[2\pi ]$ .