Forme trigonométrique et égalité de nombres complexes

Proposition  

Soit z et z' dans `\mathbb{C}^\ast` .

On note `z=r(\cos\theta+i\sin\theta)` et `z'=r'(\cos\theta'+i\sin\theta')` leurs formes trigonométriques.

On a : \(z=z' \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} r=r' \\ \theta \equiv \theta' \ [2\pi] \end{array} \right.\)

Démonstration

• `(\Leftarrow)`   Si `r=r'` et `\theta \equiv \theta' \ [2\pi]` , alors `\cos\theta=\cos\theta'` et `\sin\theta=\sin\theta'` . Ainsi, `z=z'` .
  
• `(\Rightarrow)` Supposons que `z=z'` . On a alors \(\left\vert z \right\vert=\left\vert z' \right\vert\) , c'est-à- dire `r=r'` .
  

Comme `z=z'` , on a alors : `\cos\theta+i\sin\theta=\cos\theta'+i\sin\theta'` .

Par unicité de la forme algébrique, on en déduit que :
\(\begin{align*} \cos(\theta)=\cos(\theta') \ \ \text{et} \ \ \sin(\theta)=\sin(\theta') \end{align*}\)  donc `\theta \equiv \theta' \ [2\pi]` .